Undad 3

Modelo Geométrico.

3.1 Modelos geométricos. 
 

Los modelos gráficos también se les conocen como modelos geométricos, debido a que las partes componentes de un sistema se representan con entidades geométricas como líneas, polígonos o circunferencias de modo que el término modelo se refiere a una representación geométrica generada por la computadora.

Describen componentes con propiedades geométricas inherentes y por lo tanto se presentan en forma natural a la representación gráfica. Forma entre los que se puede representar un modelo geométrico:

 

*Distribución espacial y forma de los componentes y otros componentes que afectan a la apariencia de los componentes.

*Conectividad de los componentes.

*Los valores de datos específicos para la aplicación.

3.1.1 Modelo de superficie.

Es una versión enriquecida del anterior, puesto que constituye un conjunto de facetas (patches) a partir de los atributos del modelo de malla (lados y aristas), para entregar una representación más completa del objeto. El resultado de cortar un modelo de este tipo por un plano es un conjunto de curvas.

       

Existen dos enfoques para la presentación de la superficie externa del objeto: 

1) El objeto se representa con una lista de facetas, descritas por los lados y las aristas que la delimitan. La lista de caras puede incluir solamente informaciones geométricas propias de cada faceta (tamaño, posición respecto a un origen, etc. ), o puede estar estructurada en un conjunto más complejo, donde los nodos de tipo “cara” se ligan a los nodos arista a través de los

nodos “lados”. Estas conexiones pueden presentarse en forma de gráficas o de una estructura de árbol. 
2). El objeto se representa empleando superficies de “forma libre”, que el usuario manipula interactivamente a través de puntos llamados de “control”. Se utiliza una superficie representada por ecuaciones paramétricas, que efectúa una aproximación de la envoltura exterior del objeto. Estas ecuaciones paramétricas dan como resultado una malla de elementos finitos de forma específica (generalmente cuadrados o triangulares) y utilizan puntos característicos para cambiar la forma final de la superficie. El modelo algebraico describe un sólido a partir de su frontera. (Conjunto de superficies que separa el sólido de la parte del espacio no ocupada por el).
La frontera se puede ver como la piel del sólido. Obviamente cualquier superficie no determina un sólido.

3.1.2 Modelado de Solido.

Aquí se representa un sólido mediante el modelo de círculos en movimiento. Los sólidos están constituídos también por partículas en movimiento. La fuerza de atracción entre sus moléculas es muy grande. Cuando las partículas están tan bien ordenadas como las del applet se llaman sólidos cristalinos o cristales. La sal común, NaCl, es un buen ejemplo de cristal.
Los vidrios de las ventanas no están tan bien ordenados, por lo que, en química, no se les llaman cristales sino vidrios o sólidos amorfos.
Al aumentar la temperatura de un cuerpo, aumenta la velocidad de sus partículas.
Cuando su velocidad es suficiente como para que su estructura se desmorone, el sólido se convierte en un líquido: fusión.
Cuando la velocidad es tan grande como para pasar directamente a gas, se llama sublimación.
Cuando la velocidad de las partículas del líquido disminuye, se transforma en un sólido: sodificación.   

 

3.1.3 Procesos generativos..

El término generativo se refiere a la imagen que se genera, compone o construye en una manera algorítmica (una serie de pasos) a través del uso de sistemas definidos por un proceso.
                                                                                                               

 

 

 

 

 

 

 

1a Etapa: Obtención del diseño 3D adecuado.

 Es muy importante saber cómo dibujar e 3D para adecuar el diseño al sistema que se utiliza para el modelado. El Render elimina todas las caras que se vean por su parte posterior desde el punto de vista actual con el fi de aumentar la velocidad de modelado. El vector normal de las caras; si la cara se dibuja en el sentido anti-horario, esto determina la parte delantera de una cara. Se puede determinar que el Render tome en cuenta las caras traseras para la correcta modelización de objetos que sean transparentes o que estén abiertos y por el punto de vista, se muestre su interior. 

La complejidad de un dibujo y su modelado En función de la complejidad del dibujo 3D, número de caras y vértices, se tardarán más o menos en obtener una modelización. El estado del dibujo incide en los resultados del modelado Si se da una intersección entre dos caras es posible que se produzca errores según el sistema de modelado utilizado. Las caras coincidentes y coplanares pueden producir resultados ambiguos sobre todo si son de materiales diferentes. Las caras cruzadas o en forma de pajarita también son problemáticas ya que su entorno normal no está correctamente definido .

2ª Etapa: Asignación de materiales.

Contando con el diseño 3D adecuado la segunda etapa debe ser la elección de los materiales para cada objeto. Para ello se dispone de una amplia variedad de los materiales organizados en bibliotecas que el usuario puede aplicar a sus objetos.

3ª Etapa: Elaboración de Escenas mediante luces y vistas 3D.

El Render permite la adición de varios tipos de fuentes de luz en torno a los objetos para que estos puedan ser modelados con una mayor apariencia de realismo. Una Escena almacena una vista a elegir entre las que puedan estar previamente creadas junto con el conjunto de luces que sea seleccionado.

4ª Etapa: Modelado.

El procedimiento de modelado permite obtener el resultado final directamente en pantalla. Debe seleccionarse la Escena deseada y elegir uno de los tres sistemas modeladores propuestos:

-Modelado Normal.

-Modelado Foto realístico.

-Modelado con Trazado de rayos fotográfico.

Cada modelador establece el grado de acabado, obteniéndose la mayor calidad y realismo con el Trazado de rayos fotográfico y la más rápida y sencilla con el modelado Normal. Además, se deben establecer otros muchos parámetros y condicionantes de modelado que inciden notablemente en el resultado final, tales como: fondo, entorno, niebla, suavizado, sombras, calidad de modelado, resolución, gama de colores, etc.

 

 

 

 3.2 Proyecciones.

La proyección es la representación gráfica de un objeto sobre una superficie plana, obtenida al unir las intersecciones sobre dicho plano de las líneas proyectantes de todos los puntos del objeto desde el vértice. 

En términos generales, las proyecciones transforman puntos en un sistema de coordenadas de dimensión n a puntos en un sistema de coordenadas con dimensión menor que n. De hecho, durante mucho tiempo se ha usado la graficación por computador para estudiar objetos n-dimensionales por medio de su proyección sobre dos dimensiones. 

La proyección de objetos tridimensionales es definida por rayos de proyección rectos, llamados proyectores, que emanan de un centro de proyección, pasan por cada punto del objeto e intersecan un plano de proyección para formar la proyección. Por lo general, el centro de proyección se encuentra a una distancia finita del plano de proyección. Sin embargo, en algunos tipos de proyecciones es conveniente pensar en función de un centro de proyección que tienda a estar infinitamente lejos.

 

 

 

 

 

3.2.1 proyecciones paralelas.

               

Se obtiene transfiriendo las descripciones de los objetos al plano de visualización según unas trayectorias de proyección que pueden tener cualquier dirección relativa seleccionada con respecto al vector normal del plano de visualización. 

Las proyecciones paralelas se clasifican en dos tipos, dependiendo de la relación entre la dirección de la proyección y la normal al plano de proyección. En las proyecciones paralelas ortográficas, estas direcciones son las mismas (o en sentido contrario): de manera que la dirección de la proyección es normal al plano de proyección. Esto no ocurre en la proyección paralela oblicua, esta se definen utilizando un vector de dirección para las líneas de proyección, y esta dirección puede especificarse de varias formas.

Los tipos más comunes de proyecciones ortográficas son la de relación frontal, elevación superior o elevación de plano y la de elevación lateral. En todas ellas, el plano de proyección es perpendicular al eje principal, que por lo tanto es la dirección de la proyección como por ejemplo:

   

                                 

Sin embargo, cada proyección sólo muestra una cara del objeto, de manera que puede ser difícil deducir la naturaleza tridimensional del objeto proyectado, incluso si se estudian simultáneamente varias proyecciones del mismo objeto. Las proyecciones ortográficas axonométricas usan planos de proyección que no son normales a un eje principal y que por ende muestran varias caras de un objeto al mismo tiempo.

 3.2.2 Proyección isométrica. 

Una proyección isométrica es un método gráfico de representación, más específicamente una axonométrica cilíndrica ortogonal. Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.
El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).
La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

La isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección de los ejes coordenados x, y, z conforman el mismo ángulo, es decir, 120º entre sí. Los objetos se muestran con una rotación del punto de vista de 45º en las tres direcciones principales (x, y, z).

Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia el vértice opuesto. los ejes x e y son las rectas de encuentro de las paredes con el suelo, y el eje z, el vertical, el encuentro de las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus líneas paralelas), mantienen 120º entre ellos.

                                               

                                                   

  
  

3.2.3 Proyección de perspectiva. 

Una proyección paralela de una escena es fácil de generar y preserva las proporciones relativas de los objetos no proporciona una representación realista.
En cambio el método de proyecciones perspectivas consiste en proyectar puntos hacia el plano de visión a lo largo de trayectorias (Proyectores) que convergen en un mismo punto (Punto de fuga o centro de proyección, PRP). Esto hace que los objetos que están más lejos del punto de vista se desplieguen más pequeños que aquellos del mismo tamaño que se encuentran más cerca de la posición de vista.
Ejemplo:

Las escenas que se despliegan utilizando proyecciones de perspectiva parecen más reales, ya que ésta es la manera en que el ojo humano y la lente de una cámara forman las imágenes.

Este tipo de proyección es la más usada en dibujo artístico.

Existen algunos casos especiales:
Perspectiva de un punto de fuga (vanishing point)
Punto en el que un conjunto de líneas paralelas proyectadas parecen converger
Para un conjunto de líneas que son paralelas a uno de los ejes principales de un objeto, el punto de fuga se denomina punto de fuga principal.
Ejemplo:

3.2.4 IDENTIFICACIÓN DE SUPERFICIES Y LINEAS VISIBLES

Es posible aclarar las relaciones de profundidad identificando las líneas visibles. Se puede realzar las líneas visibles o despegarlas de un color diferente, también se pueden desplegar las áreas no visibles como líneas punteadas o eliminar sólo las líneas no visibles. Estos métodos también identifican las superficies visibles.

Siempre que se dibuja un gráfico es realizado con lineas visibles para distinguir el objeto.

Estos métodos mencionados de línea visible también identifican las superficies de los objetos. Si se debe de desplegar algún objeto con color o con una superficie sombreada se aplican procedimientos de de representación de superficies para las superficies visibles, para que se obscurezcan las superficies ocultas.

Representación de superficie Se puede obtener un realismo mayor si se representan las superficies de los objetos al utilizar condiciones de iluminación de una escena y de las características que se le asignen a la superficie. 

 Recreación de objetos, prototipos a partir de sus ideas o bocetos. Con un 3D en una imagen estática o animada se pueden mostrar sus ideas con un nivel de realismo que sin duda enriquecerá la presentación de su proyecto. Esto consiste básicamente en que partiendo de una nube de puntos triangulada por Deloné (representación en 2 dimensiones) podemos obtener un modelo tridimensional simplemente añadiendo la componente 'z' (altura) a cada punto.
     De esta forma, y como se observa en el ejemplo, si se añade una componente de altura a los puntos 'a', 'b', 'c' y 'd', y representamos la triangulación en un sistema de 3 ejes, se obtiene la representación tridimensional de la superficie equivalente.
     Si se aplica esta idea a objetos más complejos, se pueden obtener modelos tridimensionales muy diversos, como por ejemplo:

• Superficies geográficas.
• Elementos arquitectónicos (edificios, puentes...)
• Medios de transporte (automóviles, ferrocarriles, embarcaciones...)
• Herramientas (desde una simple tuerca hasta elementos mas complejos como engranajes o motores).
• Seres vivos (personas, animales...).
• Cuerpos líquidos (por ejemplo el agua).

Este es el principio básico en la simulación computacional, ya que cada objeto representado en la pantalla del ordenador está compuesto de un número finito de triángulos dispuestos de tal forma que dan la sensación de profundidad y volumen en el objeto representado.

3.3.1 Superficies de polígonos.

 

La superficie de un polígono se especifica con el conjunto de coordenadas de sus vértices, y parámetros para sus atributos asociados. Los datos se colocan en tablas que se utilizarán en el procesamiento, despliegue y manipulación de objetos en una escena. Las tablas de datos se organizan en: Tablas geométricas Contienen las coordenadas de vértices y los parámetros para identificar la orientación espacial de las superficies del polígono. Tablas de atributos. Parámetros como grado de transparencia, reflectividad y textura. 

En cuanto a las tablas geométricas, una organización conveniente para almacenar los datos es crear 3 listas: Vértices Donde se almacenan las coordenadas para cada vértice. Aristas Contiene apuntadores a la tabla de vértices para identificar los vértices de que se compone cada arista. Polígonos Contiene apuntadores a la tabla de aristas para identificar las aristas de que se compone cada polígono. Además, a los objetos individuales y las caras de polígonos que los componen se les puede asignar identificadores de objeto y de faceta para una referencia rápida.

        La representación de frontera que más se utiliza para un objeto grafico tridimensional es un conjunto de polígonos de superficie que encierra en el interior del objeto. Muchos sistemas gráficos almacenas todos los objetos como conjuntos de polígonos de superficie. Esto facilita y acelera la representación de superficie y despliegue de objetos, ya que todas las superficies se describen con ecuaciones lineales.

       Una representación de polígono para un poliedro define con precisión las características de superficie del objeto, pero para otros objetos, las superficies se teselan o tejen para producir una aproximación del enlace de polígonos. 

 

 

 

 

3.3.2 Líneas y superficies curvas.

 

Las representaciones de líneas y superficies son de aplicación a los procesos de diseño de formas y de desarrollo de planos constructivos. A los tradicionales puntos de vista de si debe determinarse la enseñanza para todas las aplicaciones o por el contrario si debe consistir en una formación de gran contenido geométrico-proyectivo se une la utilización de ordenadores. Para conjugar estas tendencias el autor expone la representación de curvas y superficies de aplicación técnica: Punto, recta, plano, circunferencia, otras curvas planas, hélice cilíndrica, poliedros regulares, superficies radiadas, esfera, etc. El estudio de algunas superficies como las desarrollables, muy importantes en los trazados de construcción naval. Finalmente analiza las ecuaciones analíticas, absolutamente imprescindibles para su representación por ordenador.

Los métodos más eficientes para determinar la visibilidad de objetos con superficies curvas son la proyección de rayos y los métodos basados en árbol octal. Con la proyección de rayos, calculamos las intersecciones entre los rayos y las superficies y localizamos la distancia de intersección más pequeña a lo largo del trayecto del rayo. Con los arboles octales, simplemente exploramos los nodos de adelante hacia atrás para localizar los valores de color de superficie. Una vez definida una representación en árbol octal a partir de las definiciones de entrada de los objetos, todas las superficies visibles se identifican con el mismo tipo de procesamiento.

Una superficie curva también puede aproximarse mediante una malla poligonal, y entonces podemos utilizar algunos de los métodos de identificación de superficies visibles previamente expuestos. Pero para algunos objetos, como las esferas, puede que sea más eficiente, además de mas preciso utilizar el método de proyección de rayos y las ecuaciones que describen la superficie curva.   

 

 

 3.3.3 Superficies cuadráticas.

 

Una superficie cuadrática es la descripción de una ecuación de segundo grado. Entre ellas se incluyen las esferas, los elipsoides, los paraboloides y los hiperboloides. Las superficies cuadráticas, particularmente las esferas y los elipsoides, son elementos comunes en las escenas gráficas, y las subrutinas para generar estas superficies están disponibles a menudo en los paquetes gráficos. También, las superficies cuadráticas se pueden producir con representaciones mediante splines racionales.

       

 

 

Las ecuaciones de las cuadráticas, para proporcionar una mayor flexibilidad en el ajuste de las formas de los objetos. Se añade un parámetro adicional a las ecuaciones de una curva y se utilizan dos parámetros adicionales en las ecuaciones de las superficies.

Funciones para la generación de superficies cuadráticas de GLU.

Necesitamos asignar un nombre a la cuadrática, activar el sombreador de cuadráticas de GLU y especificar los valores de los parámetros de la superficie. Además, podemos establecer otros parámetros para controlar la apariencia de una superficie cuadrática con GLU.

Por tanto, la esfera se muestra en su modelo alámbrico con un segmento de línea recta entre cada par de vértices de la superficie.    

 

 

3.3.4 Representaciones de “spline”.

Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios, es decir una banda flexible que se utiliza para producir una curva suave que pasa por unos puntos concretos. Así el término curva con spline una función creada por tramos de polinomios cúbicos, cuya primera y segunda derivadas son continuas en las diferentes partes de la curva.

                                                 

En Computación Gráfica, una spline es comúnmente referida como una curva compuesta de secciones poligonales satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad entre ellas. Una superficie con splines se puede describir con dos conjuntos de curvas

ortogonales con splines.

Los splines se utilizan para diseñar formas de curvas y de superficies, para digitalizar dibujos y para especificar trayectorias de animación de objetos o la posición de la cámara en una escena. Estos son utilizables para el diseño de edificios, automóviles o aviones, las formas finales de los objetos se modelaban a tamaño real (o casi real) donde las curvas se representaban usando splines, largas tiras de plástico o metal moldeadas por pesos ubicados en posiciones específicas. Matemáticamente, estas curvas pueden ser descritas por la unión de secciones de poligonales cúbicas cuyas primera y segunda derivadas son continuas entre cada sección de la curva.

Al estar compuesta por varias partes de polinomios cúbicos, la suavidad de una spline puede especificarse imponiendo condiciones de continuidad entre secciones.

Una spline es descrita por un conjunto de puntos llamados puntos de control. Cuando la spline contiene todos los puntos de control se dice que la curva interpola los puntos. Cuando lo anterior no es cierto, se dice que la curva aproxima los puntos. Mientras que el primer tipo de spline es particularmente útil en procesos de digitalización de datos y especificación de trayectos para animación, el segundo es principalmente usado en herramientas de diseño para estructurar superficies de objetos.

                                                                  

 

 

 

 

3.3.5 Curvas y superficies de Bézier.

La Geometría Diferencial de Gauss trata del estudio de curvas y superficies, e incluso objetos de más dimensiones denominados variedades.

Básicamente, el método consiste en describir las curvas o superficies a estudiar con una función vectorial de unos parámetros, que hacen que un vector se mueva sobre dicha curva al variar el parámetro de forma local.

Hay que tener en cuenta que esto solo es necesario de forma local

 Se denomina curvas de Bézier a un sistema que se desarrolló hacia los años 1960 para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y en el de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier, quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD. Las curvas de Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier, que las usó posteriormente con profusión en el diseño de las diferentes partes de los cuerpos de un automóvil, en sus años de trabajo en la Renault. Las curvas fueron desarrolladas por Paul de Casteljau usando el algoritmo que lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente estable para evaluar las curvas de Bézier.